Rumus Transformasi Geometri

Jika sobat hitung duduk di klas 12 SMA, akan ada materi matematika yang disebut dengan transformasi geometri. Di materi ini sobat akan belajar menggerakkan atau mengubah (transform) terhadap sebuah benda atau titik pada bidang cartesius secara matematis. Ada beberapa jenis perubahan atau transformasi yang bisa kita lakukan. Kita bisa menggeser, memperbesar, memperkecil, mencerminkan, dan sebagainya. Ingin tahu lebih jauh tentang transformasi geometri? Simak rangkuman lengkapnya berikut ini.

Apa itu Transformasi Geometri?

Pengertian transformasi geometri adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. Transformasi bisa juga dilakukan pada kumpulan titik yang membentuk bidang/bangun tertentu. Jika sobat punya sebuah titik A (x,y) kemudian ditransformasikan oleh transformasi T maka akan menghasilkan titik yang baru A’ (x’,y’). Secara matematis di tulis:

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Sebuah objek dapat diubah dengan melakukan berbagai perlakuan. Di dalam transformasi geometri dikenal adanya 4 jenis transformasi yang bisa dilakukan terdapat sebuah koordinat yaitu menggesernya, mencerminkannya, memutar, memperbesar, atau mengecilkan. Selain 4 transformasi tersebut masih ada yang namanya regangan dan gusuran. Yuk lihat ulasannya satu persatu di bawah ini.

A. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Sobat bisa mengatakan kalau translasi hanya memindahkan tanpa mengubah ukuran tanpa memutar. Kata kuncinya transformasik ke arah yang sama dan ke jarak yang sama. Misalkan sobat punya sebuah titik T (x,y)  yang ditranslasikan menurut (a,b) maka hasil setelah transfromasi  adalah:

(x’,y’) = (x+a, y+b)

B. Refleksi

Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin datar. Berikut tabel transformasi pencerminan:

Percerminan Terhadap	Pemetaan	Matriks Transformasi
Sumbu x	(x,y) → (x,-y)
Sumbu y	(x,y) → (-x,y)
Garis x = y	(x,y) → (y,x)
Garis x = -y	(x,y) → (-y,-x)
Titik (0,0)	(x,y) → (-x,-y)
Garis x = k	(x,y) → (2k-x,y)
Garis y = k	(x,y) → (x,2k-y)
Garis y = mx tan α	x’ = x cos 2α + y sin 2α y’ = x sin 2α – y cos 2α

C. Rotasi

  

Rotasi adalah memutar setiap titik pada bidang dengan menggunakan titik pusat tertentuk yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar (jari-jari). Rotasi tidak mengubah ukuran benda sama sekali. Ada dua macam rotasi, rotasi dengan titik pusat (0,0) dan rotasi dengan titik tertentu P (a,b).

1. Rotasi dengan Titik Pusat (0,0) dengan Sudut Putar α

dimana

x’ = x cos α – y sin 
y’ = x sin α + y cos α

atau jika dibuat matriks transformasinya menjadi

keterangan

α bernilai + jika arah putaran berlawanan dengan arah jarum jam
α bernilai – jika araha putaran searah dengan arah jarum jam

2. Rotasi dengan Titik Pusat (a,b) dengan Sudut Putar α

Jika sobat punya sebuah titik (x,y) yang diputar sebesar α derajat dengant titik pusat P (a,b) maka:

dimana

x’ – a = (x-a) cos α – (y-b) sin α
y’ – b = (x-a) sin α  + (y-b) cos α

D. Dilatasi (Perkalian)

Selain dipindah, dicerminkan, dan diputar, transformasi juga bisa berbentuk pembesaran atau pengecilan yang disebut dilatasi. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun dinamakan faktor dilatasi. Faktor dilatis dilambangkan dengan k dimana

• Jika k > 1 atau k <-1 maka diperbesar
• Jika -1 < k < 1 maka diperkecil
• Jika k = 1 atau k = -1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran

1. Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)Dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor dilatasi K maka
   
   
2. Dilatasi terhadap titik pusat P (a,b)Jika sebuah titik didilatasi dengan faktor dilatasi k dan titik pust P (a,b) maka
   
   
   dimana
   x’-a = k (x-a)
   y’-b = k (y-b)

E. Gusuran (Shearing)

Gusuran artinya menggeser serah sumbu x atau sumbu y dengan faktor skala tertentu. Coba sobat perhatikan gambar di bawah ini:

Segi empat di atas dapat di gusur menurut sumbu x atau sumbu y dengan skala gusur k

• Untuk gusuran menurut sumbu x —> Jika nilai k positif maka ke kanan, k negatif maka ke kiri
• Untuk gusuran menurut sumbu y —> Jika nilai k positif maka ke atas, k kengatif maka k bawah

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan rumus:

Gusuran	Pemetaan	Matriks Transformasi
Menurut Sumbu x	(x’, y’) → (x + ky, y)
Menurut Sumbu y	(x’,y’) →  (x, kx + y)

F. Regangan

Regangan atau dalam bahasa inggris disebut streching  artinya transformasi dengan menarik sebuah benda searah sumbu x atau sumbu y dengan skala tertentu. Jika sobat punya sebuah titik (x,y) yang ditari ke arah sumbu x atau y dengan skala k maka hasil pemetaannya dapat dicari dengan rumus

Regangan	Pemetaan	Matriks Transformasi
Searah Sumbu x	(x’, y’) → (kx, y)
Searah Sumbu y	(x’,y’) →  (x, ky)

Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah gabungan dari dua atau lebih transformasi baik berbeda ataupun sama.  Misalkan sebuah titik di transformasikan 2 kali oleh T₁ dan T₂ maka secara matematis dituliskan T₁o T₂dengan matriks komposisi tersebut adalah perkalian dari matriks transformasi 2 dengan matriks transformasi 1 (dibalik).

Matriks Transformasi Khusus

Berikut kami rangkumkan matriks tansformasi yang sering digunakan dalam soal-soal. Matriks di bawah ini juga akan memudahkan sobat untuk mencari matriks dari komposisi dua atau lebih transformasi.

Contoh Soal dan Pembahasan

Bayangan dari kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks xxx, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x akan manghasilkan matriks?

a. x+y-3 = 0	d. 3x+y+1 = 0
b. x-y-3 = 0	e. x + 3y+1 = 0
c. x+y +3 =0

Jawaban:

Dari soal di atas akan dua buah transformasi yaitu transformasi oelh matriks  dan transformasi pencerminan terhadap sumbu x. Jadi matriks kompoisi totalnya adalah

maka

x’ = x + 2y maka x = x’-2y
y’ = -y maka y’ = -y

Dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa bayangan kurva y = x + 1 oleh kedua transformasi di atas adalah

y = x + 1 (substitusikan dua persamaan di atas)
-y’ = (x’-2y) + 1
-y’ = x’+2y’+1
x’ + 3y’ + 1 = 0 atau
x + 3y + 1 = 0 (jawaban e)

Sekian dulu sobat belajar kita tentang transformasi geometri, semoga bermanfaat. jangan lupa baca juga materi tentang rumus cepat deret geometri. Wassalamualaikum..